جواب تمرین صفحه 63 ریاضی هشتم

**بله**، این تساوی همواره درست است. **چرا؟** این تساوی یک کاربرد از **خاصیت توزیع‌پذیری** است. برای اثبات آن، می‌توانیم سمت راست تساوی را ساده کنیم: $ -(a-b) = (-۱) \times (a-b) $ با ضرب کردن $-۱$ در هر دو جمله داخل پرانتز، داریم: $ (-۱ \times a) - (-۱ \times b) = -a + b $ که با استفاده از خاصیت جابه‌جایی جمع، می‌توان آن را به صورت $b-a$ نوشت. این عبارت با سمت چپ تساوی برابر است. بنابراین، تساوی برقرار است.

مجموع دو عدد فرد همیشه یک عدد زوج است. این موضوع را می‌توان با استفاده از نمایش جبری اعداد فرد و زوج اثبات کرد. ۱. **نمایش جبری عدد فرد:** هر عدد فرد را می‌توان به صورت $۲k+۱$ نوشت که در آن $k$ یک عدد صحیح است. ۲. **فرض:** دو عدد فرد دلخواه را $۲n+۱$ و $۲m+۱$ در نظر می‌گیریم (که $n$ و $m$ اعداد صحیح هستند). ۳. **مجموع:** این دو عدد را با هم جمع می‌کنیم: $ (۲n+۱) + (۲m+۱) = ۲n + ۲m + ۲ $ ۴. **اثبات:** از عبارت به دست آمده، می‌توانیم عدد ۲ را فاکتور بگیریم: $ ۲(n+m+۱) $ ۵. **نتیجه:** از آنجایی که $n$ و $m$ اعداد صحیح هستند، عبارت داخل پرانتز ($n+m+۱$) نیز یک عدد صحیح است. نتیجه نهایی به فرم $۲ \times (\text{یک عدد صحیح})$ است که تعریف جبری یک **عدد زوج** می‌باشد.

مجموع یک عدد زوج و یک عدد فرد، همیشه عددی **فرد** است. **چرا؟** این موضوع را نیز می‌توان با نمایش جبری اثبات کرد: ۱. **نمایش جبری:** یک عدد زوج را به صورت $۲n$ و یک عدد فرد را به صورت $۲m+۱$ نمایش می‌دهیم. ۲. **مجموع:** این دو عدد را با هم جمع می‌کنیم: $ (۲n) + (۲m+۱) = ۲n + ۲m + ۱ $ ۳. **اثبات:** از دو جمله اول، عدد ۲ را فاکتور می‌گیریم: $ ۲(n+m) + ۱ $ ۴. **نتیجه:** از آنجایی که $n$ و $m$ اعداد صحیح هستند، مجموع آنها ($n+m$) نیز یک عدد صحیح است. اگر $k = n+m$ در نظر بگیریم، نتیجه به فرم $۲k+۱$ است که تعریف جبری یک **عدد فرد** می‌باشد.

برای ساده کردن این عبارت‌ها، از اتحادهای مربع دوجمله‌ای و اتحاد مزدوج استفاده می‌کنیم. - $ (a+۴)^۲ = (a)^۲ + ۲(a)(۴) + (۴)^۲ = a^۲ + ۸a + ۱۶ $ (اتحاد مربع مجموع دو جمله: $ (x+y)^۲ = x^۲+۲xy+y^۲ $) - $ (۲x-۳y)^۲ = (۲x)^۲ - ۲(۲x)(۳y) + (۳y)^۲ = ۴x^۲ - ۱۲xy + ۹y^۲ $ (اتحاد مربع تفاضل دو جمله: $ (x-y)^۲ = x^۲-۲xy+y^۲ $) - $ (x+y)(x-y) = x^۲ - y^۲ $ (اتحاد مزدوج: $ (a+b)(a-b) = a^۲-b^۲ $) - $ a^۲+b^۲-(a-b)^۲ = a^۲+b^۲ - (a^۲-۲ab+b^۲) $ (ابتدا اتحاد مربع تفاضل را باز کرده و سپس منفی را در آن توزیع می‌کنیم.) $ = a^۲+b^۲-a^۲+۲ab-b^۲ = ۲ab $

پیکان‌ها نشان‌دهنده **خاصیت توزیع‌پذیری** هستند، یعنی هر جمله از عبارت اول باید در تمام جملات عبارت دوم ضرب شود. $ (x-۱)(x^۲+x+۱) = x(x^۲+x+۱) - ۱(x^۲+x+۱) $ با ضرب کردن هر بخش داریم: $ = (x^۳ + x^۲ + x) - (x^۲ + x + ۱) $ حالا پرانتز دوم را با توزیع علامت منفی حذف می‌کنیم: $ = x^۳ + x^۲ + x - x^۲ - x - ۱ $ با ساده کردن جملات متشابه، به نتیجه نهایی می‌رسیم: $ = x^۳ + (x^۲ - x^۲) + (x - x) - ۱ = x^۳ - ۱ $ این عبارت نمونه‌ای از **اتحاد تفاضل مکعبات** است: $ (a-b)(a^۲+ab+b^۲) = a^۳-b^۳ $.

حاصل‌ضرب این دو عبارت، **۹ جمله** خواهد داشت. **چرا؟** طبق خاصیت توزیع‌پذیری، برای ضرب دو چندجمله‌ای، باید هر جمله از پرانتز اول را در تمام جملات پرانتز دوم ضرب کنیم. - پرانتز اول دارای **۳ جمله** است ($a, b, c$). - پرانتز دوم نیز دارای **۳ جمله** است ($z, y, x$). بنابراین، تعداد کل جملات حاصل از ضرب برابر است با: $ ۳ \times ۳ = ۹ $ از آنجایی که هیچ‌یک از متغیرها مشترک نیستند، هیچ‌کدام از این ۹ جمله با هم متشابه نخواهند بود و نمی‌توان آنها را ساده‌تر کرد. این ۹ جمله عبارتند از: $ az, ay, ax, bz, by, bx, cz, cy, cx $